首先，我们需要明确概率密度函数 \( f(x) \) 的定义。概率密度函数是一个非负可积函数，并且满足在整个实数域上的积分等于 1，即

\[

\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1.

\]

这意味着 \( f(x) \) 描述了随机变量 \( x \) 在不同区间内取值的可能性大小。具体来说，对于任意区间 \([a, b]\)，事件 \( x \in [a, b] \) 发生的概率可以通过以下公式计算：

\[

P(a \leq x \leq b) = \int_a^b f(x) dx.

\]

此外，概率密度函数 \( f(x) \) 的形式决定了随机变量 \( x \) 的分布类型。例如，若 \( f(x) \) 是正态分布的概率密度函数，则 \( x \) 服从正态分布；若 \( f(x) \) 是指数分布的概率密度函数，则 \( x \) 服从指数分布。因此，确定 \( f(x) \) 的具体表达式是解决实际问题的关键步骤之一。

在应用方面，概率密度函数广泛应用于工程、金融、自然科学等领域。例如，在信号处理中，通过分析噪声信号的概率密度函数可以提高信噪比；在风险管理中，通过对资产收益的概率密度函数建模，可以更好地评估投资风险。这些实际问题往往需要结合理论推导和数值模拟来求解。

总之，设随机变量 \( x \) 的概率密度为 \( f(x) \)，这一概念不仅是概率论的核心内容，也是现代科学和技术发展中不可或缺的一部分。深入理解并熟练运用概率密度函数，将有助于我们更准确地把握随机现象的本质及其内在规律。