在数学学习中，三角函数是一个非常重要的部分，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握常见的三角函数公式，不仅有助于解题，还能提升对数学规律的理解。以下是一份整理全面、内容清晰的“三角函数公式表”，适合学生和自学者参考。
一、基本定义
设角α为一个任意角，在直角坐标系中，以原点为顶点，x轴正方向为始边，终边与单位圆交于点P(x, y)，则：
- sinα = y
- cosα = x
- tanα = y/x（x ≠ 0）
- cotα = x/y（y ≠ 0）
- secα = 1/x（x ≠ 0）
- cscα = 1/y（y ≠ 0）
二、基本关系式
1. 平方关系：
- $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $
- $ 1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha $
- $ 1 + \cot^2\alpha = \csc^2\alpha $
2. 倒数关系：
- $ \sin\alpha = \frac{1}{\csc\alpha} $
- $ \cos\alpha = \frac{1}{\sec\alpha} $
- $ \tan\alpha = \frac{1}{\cot\alpha} $
3. 商数关系：
- $ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $
- $ \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $
三、诱导公式（角度转换）
| 角度 | sin | cos | tan |
|------|-----|-----|-----|
| α| sinα | cosα | tanα |
| π/2 - α | cosα | sinα | cotα |
| π/2 + α | cosα | -sinα | -cotα |
| π - α | sinα | -cosα | -tanα |
| π + α | -sinα | -cosα | tanα |
| 2π - α | -sinα | cosα | -tanα |
四、和差角公式
1. 正弦：
- $ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta $
2. 余弦：
- $ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta $
3. 正切：
- $ \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha \tan\beta} $
五、倍角公式
1. 正弦：
- $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha $
2. 余弦：
- $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha $
3. 正切：
- $ \tan(2\alpha) = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha} $
六、半角公式
1. 正弦：
- $ \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} $
2. 余弦：
- $ \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} $
3. 正切：
- $ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha} $
七、积化和差公式
1. $ \sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] $
2. $ \cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)] $
3. $ \sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] $
八、和差化积公式
1. $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $
2. $ \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $
3. $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $
4. $ \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $
九、其他常用公式
- $ \sin^3\alpha = \frac{3\sin\alpha - \sin(3\alpha)}{4} $
- $ \cos^3\alpha = \frac{3\cos\alpha + \cos(3\alpha)}{4} $
十、三角函数图像与性质
| 函数 | 定义域 | 值域 | 周期 | 奇偶性 |
|------|--------|------|------|--------|
| sinx | R| [-1, 1] | 2π | 奇函数 |
| cosx | R| [-1, 1] | 2π | 偶函数 |
| tanx | x ≠ (2k+1)π/2 | R | π | 奇函数 |
通过以上这些公式，可以更高效地解决与三角函数相关的各种问题。建议在学习过程中多做练习，结合图形理解其变化规律，从而加深记忆与应用能力。
