超几何分布的方差公式是 Var(X)=n×(K/N)×((N-K)/N)×((N-n)/(N-1))，也可以写成 Var(X)=nK(N-K)(N-n)/(N²(N-1))。这个公式用于计算不放回抽样场景下成功次数的离散程度，参数分别对应总体大小 N、总体中成功个体数量 K、抽取样本数量 n。实际使用时先确认抽样方式为不放回，再列出 N、K、n 三个数值，代入超几何分布的方差公式即可得到方差，如果需要更直观的尺度，可以继续计算标准差 sqrt(Var(X))。
参数速查表
| 符号 | 含义 | 使用方式 |
|---|---|---|
| N | 总体大小 | 表示总体里一共有多少个个体 |
| K | 成功个体数量 | 表示总体里被关注类别的数量 |
| n | 抽样数量 | 表示一次抽取多少个个体 |
| p=K/N | 成功比例 | 在公式中用于表示比例项 |
| X | 样本中的成功次数 | 表示抽样里某一类个体出现次数 |
公式结构说明
超几何分布的方差公式可以拆成三个部分来理解：
- 比例项：K/N 表示总体中成功个体占比。
- 失败比例项：(N-K)/N 表示总体中非成功个体占比。
- 不放回修正项：(N-n)/(N-1) 用来体现不放回抽样带来的整体变化。
因此，超几何分布的方差公式也可以写成：
Var(X)=n×p×(1-p)×((N-n)/(N-1))，其中 p=K/N。
计算步骤
- 写出总体大小 N。
- 写出成功个体数量 K。
- 写出抽样数量 n。
- 计算成功比例 p=K/N。
- 代入超几何分布的方差公式 Var(X)=n×p×(1-p)×((N-n)/(N-1))。
- 如需标准差，计算 sqrt(Var(X))。
示例计算
假设总体有 50 个个体，其中 10 个是成功类别，每次不放回抽取 5 个个体。
参数为：
- N=50
- K=10
- n=5
- p=K/N=10/50=0.2
代入超几何分布的方差公式：
Var(X)=5×0.2×0.8×((50-5)/(50-1))
Var(X)=5×0.2×0.8×(45/49)
Var(X)=0.734694...
因此，该超几何分布的方差约为 0.7347，标准差约为 0.8571。
场景匹配表
| 抽样方式 | 常用分布 | 常用方差公式 |
|---|---|---|
| 不放回抽样 | 超几何分布 | 超几何分布的方差公式 |
| 放回抽样 | 二项分布 | Var(X)=np(1-p) |
| 总体数量很大且抽样数量很小 | 可用二项分布近似 | Var(X)=np(1-p) |
使用提示
- 使用超几何分布的方差公式时，抽样方式一般是不放回抽样。
- 如果 N=1，抽样结果通常已经确定，方差为 0。
- 当 n=N 时，抽取了全部个体，样本结果也确定，方差为 0。
- 当 n 相对 N 较小、总体规模较大时，可以用二项分布进行近似计算。
【常见问题】
问题1：超几何分布的方差公式是什么？
回答1：超几何分布的方差公式为 Var(X)=n×(K/N)×((N-K)/N)×((N-n)/(N-1))，它用于计算不放回抽样中成功次数的方差。
问题2：超几何分布的方差公式中的 N、K、n 分别代表什么？
回答2：在超几何分布的方差公式中，N 表示总体大小，K 表示成功个体数量，n 表示抽样数量，这三个参数共同决定方差结果。
问题3：超几何分布的方差公式适合放回抽样吗？
回答3：超几何分布的方差公式更适合不放回抽样；如果是放回抽样，通常使用二项分布的方差公式 Var(X)=np(1-p)。
问题4：如何计算超几何分布的方差公式中的标准差？
回答4：先按超几何分布的方差公式算出 Var(X)，再取算术平方根，标准差就是 sqrt(Var(X))，这样可以从超几何分布的方差公式得到更直观的离散尺度。
问题5：超几何分布的方差公式怎么简化理解？
回答5：可以把超几何分布的方差公式理解为“抽样数量 × 成功比例 × 非成功比例 × 不放回修正项”，也就是 n×p×(1-p)×((N-n)/(N-1))，其中 p=K/N。
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