ln 是以 e 为底的自然对数，在实数范围内，ln 后面括号里面的真数必须大于零，这就是 ln 的定义域范围，对应的输出函数值也就是值域是全体实数，可以取到负数零和正数，没有上下边界。很多初学者会把真数范围和函数输出范围搞混，以为 ln 只能算出正数，其实当真数在零到一之间的时候，ln 计算结果就是负数，当真数等于一的时候 ln 等于零，当真数大于一的时候 ln 结果是正数。这里要牢牢记住，ln 本身不是指数，它是对数运算，对数运算的硬性要求就是真数大于零，零和负数在实数体系里面都不能作为 ln 的真数，如果强行代入负数，实数运算没有意义，只有扩展到复数领域，负数才能取对数，但是高中普通高数考试默认全部都是实数范围，不考虑复数。

核心原理

自然对数 ln 是指数函数 y 等于 e 的 x 次方的反函数，指数函数 e 的 x 次方不管 x 取任何实数，算出来的结果永远大于零，反函数的定义域就是原指数函数的值域，所以 ln 的真数范围只能是大于零。反过来，指数函数 e 的 x 次方可以输出全部大于零的数，所以反函数 ln 的输出值可以覆盖全部实数，也就是负无穷到正无穷，这个是反函数性质决定的，是理解 ln 的范围最根本的逻辑。

分层梳理

1 定义域范围 真数大于零，也就是括号内的自变量必须满足大于零，这是运算成立的前提

2 值域范围 输出结果是全体实数，没有最大值也没有最小值，当真数无限趋近零正方向的时候，ln 趋向负无穷，当真数无限增大的时候，ln 趋向正无穷

3 单调性 ln 在定义域内部是单调递增函数，真数变大，ln 的结果同步变大

4 特殊节点 真数等于 1，ln1 等于 0，真数等于 e，lne 等于 1

对比表格

拓展易错点

做题的时候经常出现 ln 括号里面是多项式的情况，比如 ln 括号里面是 x 减 2，这时候不能直接写 x 大于零，而是要让整个括号里面的式子大于零，也就是 x 减 2 大于零，解得 x 大于 2，这就是复合形式下 ln 的范围求解思路，本质还是坚持真数整体大于零的规则。还有一类题目会问 ln 的范围能不能包含零，答案是否定的，真数等于零的时候 ln 没有定义，不存在对应的函数值。

【常见问题】

问题 1 ln 的范围里面真数可以是负数吗

回答 1 在实数范围内 ln 的范围不允许真数为负数，ln 的范围硬性要求真数大于零，负数代入 ln 没有实数结果，只有复数体系下才可以对负数取 ln。

问题 2 ln 的范围里面值域是不是只能是正数

回答 2 不是，ln 的范围里值域是全体实数，当真数在零到一之间，ln 的计算结果就是负数，所以 ln 的范围输出可以是负数零正数。

问题 3 复合函数 ln 括号内多项式，怎么求 ln 的范围

回答 3 求复合形式 ln 的范围，就是令括号内整个表达式大于零，解不等式得到自变量区间，这个区间就是这个复合 ln 的范围，核心规则依然是真数整体大于零。

问题 4 ln 的范围为什么不能取到零作为真数

回答 4 ln 的范围要求真数大于零，真数等于零的时候对数运算不存在定义，指数 e 的 x 次方永远不会等于零，作为反函数的 ln 自然没有真数为零对应的输出，所以 ln 的范围排除真数零。

【免责申明】

本文为高等数学自然对数基础知识点讲解，仅作为学习参考，不同教材和考试大纲如果有特殊规定，请以对应教材与考试要求为准，不构成应试之外的专业承诺。